复平面旋转&DFT¶

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离散傅里叶变换¶

动画讲解离散傅里叶变换

离散傅里叶变换公式：(幅角-模型形式)

$x_n$ 原始离散时间序列
$\frac{2\pi}{N} \cdot k$ ：每次旋转的角度 = $k$ 个 $\frac{2\pi}{N}$
$n$：每个时间点（从前往后）都要旋转

复平面：

演示，将原始序列[4,3,2,1]进行离散傅里叶变换： $$ X_k= \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{-i\cdot(\frac{2\pi k}{N})n} $$

N=4 原始序列 4 个时间点，n 从 0 开始按时间点先后依次旋转
每个时间点旋转 $\frac{2\pi k}{N}$ 个角度，k=0,1,2,3
k=0时，每个时间点，对应时间序列对应的线段，不旋转
k=1时，旋转 90°
k=2时，旋转 180°
k=3时，旋转 270°

1 个周期 = 时间序列长度

2 个周期 = 时间序列长度

3 个周期 = 时间序列长度

4 个周期 = 时间序列长度《===》一个周期一个点

旋转：顺时针旋转

顺时针旋转 90 度：

相对于初始位置，顺时针旋转 180 度

相对于初始位置，顺时针旋转 270 度

得到傅里叶变换：

以上是 4 个点的例子，现在举一个 6 个点的例子

公式，依然是 DFT $$ X_k= \sum_{n=0}^{N-1} x_n \cdot e^{-i\cdot(\frac{2\pi k}{N})n} $$

时间序列中有 6 个时间点
每次旋转 $\frac{2\pi k}{N}$ 个角度，其中，$\frac{2\pi }{N} = \frac{ 360° }{60°}= 60°$
k=0，表示，第一次遍历时间序列中的所有时间点时，加和即可。不转。
k=1，第二次遍历时间序列中的时间点时，每个点依次，从前往后，顺时针旋转 $60°$ $《====》$ 周期长度=序列长度 $《====》$ 因为 6 个点，每个点转 60 度，遍历完所有时间点，刚好转完一圈。
k=2，第三次遍历时间序列中的所有时间点时，每个点依次再次旋转 $60 °$，相对于初始位置，旋转了 $120°$ $《===》$🔴序列长度 = 3 个周期长度 $《====》$ 6 个点，每个点转 120 度，遍历完所有时间点，🔴转完 3圈。
k=3，第四次遍历时间序列中的所有时间点时，每个点依次再次旋转 $60 °$，相对于初始位置，旋转了 $180°$ $《===》$🔴序列长度 = 2个周期长度 $《====》$ 6 个点，每个点转 180 度，遍历完所有时间点，🔴转完 2 圈。
k=4，第五次遍历时间序列中的所有时间点时，每个点依次再次旋转 $60 °$，相对于初始位置，旋转了 $240°$ $《===》$ 🔴序列长度 = 3个周期长度 $《====》$ 6 个点，每个点转 180 度，遍历完所有时间点，🔴转完 2 圈。
k=5，第六次遍历时间序列中的所有时间点时，每个点依次再次旋转 $60 °$，相对于初始位置，旋转了 $300°$ $《===》$ 🔴序列长度 = 3个周期长度 $《====》$ 6 个点，每个点转 180 度，遍历完所有时间点，🔴转完 2 圈。
也就是说，$k$ 遍历在 $2 \pi$ 上，$n$ 遍历原始序列。$k$ 只是每个时间点旋转的角度。表示所有时间点在该频率上==的相关性？（响应值？）==

k=0，DFT 的第 1 个值，直接对所有元素加和

k=1，每个点转 60 度：

k=2，每个点顺时针旋转 120 度

每个点顺时针旋转 180 度

每个点旋转顺时针旋转 240 度

每个点旋转300 度

顺时针旋转 300 度，和旋转 60 度，十分相似，只是颠倒了，具体来说，实部是完全一样的，虚部是取反的。因为 $e^x = cosx+isinx$ ；第 0 个值是原始时间点加和的。

借助工具计算 DFT

k=0，原始序列元素加和
k=1，转 60 度，转一圈
k=2，转 120 度，6 个点，转 3 圈
k=3，转 180 度，在实数轴上移动，6 个点转2 圈
k=4，转 240 度，相对于 120 度旋转来说，实数轴不变，虚数轴互为相反数
k=5，转 300 度，相对于 60 度旋转来说，实数轴不变，虚部互为相反数

由，时域得到了频域 $===》[4,3,2,1]→[10,2-2i,2,2+2i]$

k=0，元素加和
k=1，转 90 度
k=2，实数轴上，180 度
k=3，转 270 度，相对于 k=1，实数部分不变，虚数部分互为相反数

那么，如果有频域，$[10,2-2i,2,2+2i] $ 怎么得到时域？ $[4,3,2,1]$

DFT 顺时针旋转，逆离散傅里叶变换，那就逆时针旋转

在复平面表示：

首先，第 0 个值，频域元素加和

顺时针旋转 90 度，依然是按照频域元素顺序，依次旋转

再次，每个点依次旋转 180 度

顺时针，每个点，相对于初始位置，旋转 270 度，都是从初始位置开始旋转，一次旋转完角度

问题，为什么，是 [16,12,8,4] 不是 [4,3,2,1] ？

答案：除以序列长度，这里是 4.

傅里叶变换，顺时针旋转， $\frac{2\pi}{N}$

逆傅里叶变换，逆时针旋转，也是$\frac{2\pi}{N}$，最后还要除以序列长度 $N$

复平面与 $e^x$ ，这一步的转换，其实是从 $(cos\theta,sin\theta)$ 直接用了 $e^{i\theta}$ 表示

类似的，复平面坐标点，全部用指数表示

$$ e^{i\theta} = cos\theta + isin\theta $$ 具体来说：

$1 = e^{i2\pi} = cos2\pi + isin2\pi = 1$
$i = e^{i\frac{\pi}{2}} = cos\frac{\pi}{2} + isin\frac{\pi}{2} = i$
$-1 = e^{i\pi} = cos\pi + isin \pi = -1$
$-i = e^{i\frac{3\pi}{2}} = cos\frac{3\pi}{2} + isin\frac{3\pi}{2} = -i$

接下来，对 1 进行分解，具体来说：

$x^2=1$
$x^3=1$
$x^4=1$
$x^5=1$

因为讨论的是三角函数，所以用 $\omega$

这里其实，我觉得应该这么解释

$\omega^2 = 1 ===>$ 转1个 $\omega$ 转一圈 $=1$
$\omega^3 = 1 ===>$ 转3个 $\omega$ 转一圈 $=1 ===>$ 得到对应的角，进行相应的复数表示，比如这里 $\omega=120°$ ，$x$ 轴正方向开始找点，120°标一个，再一个120°，再标一个。（模长=1，角度＝120°）
$\omega^4 = 1 ===>$ 转4个 $\omega$ 转一圈 $=1$
$\omega^5 = 1 ===>$ 转5个 $\omega$ 转一圈 $=1$
$\omega^6 = 1 ===>$ 转6个 $\omega$ 转一圈 $=1$
......
$\omega^n = 1 ===>$ 转n个 $\omega$ 转一圈 $=1$

单位根

$\omega = 120°$ 是角，也是复数表示，也是指数
复数： $\omega = -\frac{1}{2} + i \sqrt{\frac{3}{2}}$
※ 指数：$\omega = e^{i\frac{2\pi k}{N}}$ 这里划分成 3 个，也就是 3 个样本点，所以 $N=3$，这是第一次旋转，所以，$k=1$ 所以指数表示 $\omega = e^{i \frac{2 \pi}{3}}$

基于以上认识，重新看 DFT

符号说明

DFT 的结果 $X_k$
$x_n$ ：我们正在旋转的杆的长度
$e^{-i(2\pi\frac{k}{N}n)}$ ：这个指数，就表示了旋转角度，表示的是单位根的旋转角度，因为乘以了 $x_n$ 所以有长度
$\sum_{n=0}^{N-1}$ : 求和表示所有杆的串联

$e^{-i(2\pi\frac{k}{N}n)}$ 的更具体一点

$(2\pi\frac{k}{N}n)$ ：表示，旋转的角度。并且主要是 $2\pi\frac{k}{N}$ ，$n$ 的意思是，表示对所有杆旋转
负号表示顺时针旋转

原始序列中的点，旋转 $e^{-i(2\pi\frac{k}{N}n)}$ ，得到 $X_k$ 的图形化过程：

对于遍历一次序列，所有时间点，旋转的角度是不变的。

离散傅里叶变化和离散傅里叶逆变换：

$e^{-i}$ 表示顺时针旋转，$e^i$ 表示逆时针旋转

旋转角度 $\frac{2 \pi k}{N}$

最后，特别注意一下，逆傅里叶变换需要除以序列长度 $N$

当然了，也有表示 $\frac{1}{\sqrt{N}}$

傅里叶变换的矩阵表示：

还是从 [4,3,2,1]开始：

用单位根矩阵表示，DFT

关于矩阵详细展开：

简化记忆：$\omega_{kn} x_n = X_k$

$ \omega = e^{i\frac{ 2\pi}{N}} $

行表示 $\frac{2\pi k}{N}$ 频率，分别与原始序列 $x_0，x_1，x_2，......,x_{N-1}$ 的相关性

逆傅里叶变换的矩阵形式：

离散傅里叶变换中的序列周期规律¶

离散傅里叶变换中的序列周期规律

首先，回忆$[4,3,2,1]$离散傅里叶变换的过程

在复平面中讨论，依次画出 4,3,2,1 的线段，标出第一个点，也就是 10

然后，顺时针，依次旋转 90 度，先转第一条线段 4 ，转动 4 的时候，会带着转 3,2,1，但是转的是 4 的右端点

接着转，第二条边的右端点

然后转第三条边的右端点，转动 90 度，最终转第四条边

记录得到最终的位置。

离散傅里叶变换和逆离散傅里叶变换

接下来，讨论周期序列：

对这个序列进行离散傅里叶变换：

仅观察 0 值和非 0 值

接下来的问题：

周期=4 的时间序列重复 3 次

首先观察第一个周期为 4 序列的离散傅里叶变换：

270°+90°=360°，所以转动270°时，与90°的实部相同，虚部互为相反数

那么此时3 个周期为 4 的离散傅里叶变换呢？

直观上说，是上面得到的，一个周期为 4 的离散傅里叶变换，但其实不是的，而是×3，3 个时间序列的重复模式。而其他部分填充 0，得到重复 3 次的离散傅里叶变换

再次看一下，这里有区别

这里是重复 3 次，周期为 4 的原始时间序列

得到的离散傅里叶变换是，分成 4 块，（每块内第一个元素不为 0，其余两个元素=0）

每次旋转的角度变了：$\frac{2 \pi k}{N}$

分析为什么是这样的？

直观上说，是上面得到的，一个周期为 4 的离散傅里叶变换，但其实不是的，而是×3，3 个时间序列的重复模式。而其他部分填充 0，得到重复 3 次的离散傅里叶变换

原始时间序列，在对应频率上的分量，包含角度（ $e^{-i\frac{2 \pi k n}{N} }$ ）和模长 $x_n$ 。
$e^{-i}$ 表示顺时针旋转
其实不是很懂这个 n的含义，第 0个，第 1 个，...，每个线段转角就是转角，乘 n 干啥。

我懂这个 n 了，首先，分析，这几条线段是依次旋转的。

具体来说，假如基本旋转单元是 60°，一共 6 条线段（一定要满足 $\frac{2 \pi }{N}$ ），

现在复述原始时间序列在旋转 60 度时，每条线段的旋转情况。

第一条线段转 60 度，第一条线段转的时候，带着第二条、第三条、第四条...线段也转了 60 度

接下来转第二条线段，第二条线段在第一条线段的基础上转，开始转，第二条线段转 60 度，相对于起始位置转了 120 度，同时带动了第三条和第四条等其余几条线段转 60 度，接下来，第三条线段在第二条线段的基础上再转 60 度，相对于其实转了 180 度....

所以，对于特定频率 $k$ 来说，每条线段都会转 $\frac{2 \pi k}{N} n$

具体地，$x_0$ 转 $e^{-\frac{2 \pi k}{N} \cdot 0}$

$x_1$ 转 $e^{-\frac{2 \pi k}{N} \cdot 1}$ ，一个 $\frac{2 \pi k}{N}$

$x_2$ 转 $e^{-\frac{2 \pi k}{N} \cdot 2}$ ，2 个 $\frac{2 \pi k}{N}$

$x_3$ 转 $e^{-\frac{2 \pi k}{N} \cdot 3}$ ，3 个 $\frac{2 \pi k}{N}$

接下来，一个个计算，这个具有周期性质的时间序列的傅里叶变换：

第一个元素：

同样在实数轴上画出线段，然后元素加和放到 DFT 的第一个位置

接下来，讨论DFT 中的第二个元素，也就是每天线段旋转 $\frac{2 \pi}{N}$ ，$N=12$ ，也就是每条线段依次旋转 60 度。

第三个周期同理，每条线段，时间点对应的长度依次转 60°，同时在第二次旋转的基础上，旋转，也就是相对于第一次旋转

第一个周期旋转 30 度，4 个时间点，4 条线段，所以 4 条线段中的最后一条线段转了 $30×4=120°$
第二个周期在第一个周期的基础上旋转，也就是把第一个周期的所有转过的，已经完成的形状，再转 120°，然后拼到第一个周期旋转的后面。
同理，第三个周期也是，对于第二个周期旋转好的图形转 120 度，相对于第一个周期转好的形状，旋转 240 度。

得到：

所以 DFT 的第二个数=0

第三个数，同理。第一条线段转 $\frac{2 \pi}{N}k$，这里 $k=2$，对应的每条线段，转从编号 0 开始，转 $\frac{2 \pi}{N}k n$ 记的是每条线段的累积旋转角度

现在讨论下一个点为什么不是 0

这里 $k=3$，也就是说第一条线段旋转 $\frac{2 \pi k }{N} = 30°×3=90°$ ，所以下一个元素 $\neq 0$

这里 $\frac{2 \pi}{N}=30°$

$k=0$ 不转，所有元素相加
$k=1$，转 $\frac{2\pi k}{N}n = \frac{2\pi }{N}n$

第一条，转 $\frac{2\pi }{N}\cdot 0$

第二条，转 $\frac{2\pi }{N}\cdot 1 = 30°$

第三条，转 $\frac{2\pi }{N}\cdot 2 = 60°$

第四条，转 $\frac{2\pi }{N}\cdot 3 = 90°$

第五条，转 $\frac{2\pi }{N}\cdot 4 = 120°$

第六条，转 $\frac{2\pi }{N}\cdot 5 = 150°$

$k=2$，转 $\frac{2\pi k}{N}n = 60° n$

第一条，转 $\frac{2\pi }{N} \cdot (k=2)\cdot 0$

第二条，转 $\frac{2\pi }{N} \cdot (k=2)\cdot 1 = 60°$

第三条，转 $\frac{2\pi }{N} \cdot (k=2)\cdot 2 = 120°$

第四条，转 $\frac{2\pi }{N} \cdot (k=2)\cdot 3 = 180°$

第五条，转 $\frac{2\pi }{N} \cdot (k=2)\cdot 4 = 240°$

第六条，转 $\frac{2\pi }{N} \cdot (k=2)\cdot 5 = 300°$

$k=3$，转 $\frac{2\pi k}{N}n = 90° n$
$k=4$，转 $\frac{2\pi k}{N}n = 120° n$
$k=5$，转 $\frac{2\pi k}{N}n = 150° n$
$k=6$，转 $\frac{2\pi k}{N}n = 180° n$
$k=7$，转 $\frac{2\pi k}{N}n = 210° n$
$k=8$，转 $\frac{2\pi k}{N}n = 240° n$
$k=9$，转 $\frac{2\pi k}{N}n = 270° n$
$k=10$，转 $\frac{2\pi k}{N}n = 300° n$
$k=11$，转 $\frac{2\pi k}{N}n = 330° n$

对比结果：

直方图表示：

离散傅里叶变换&逆离散傅里叶变换：

k = 0，依然是原始序列加和

k=1，每个时间点上面标了，每个时间旋转的度数，旋转得到逆傅里叶变换的第二个值

逆傅里叶变换需要注意的点：

除以序列长度 $N$
旋转方向：逆时针

k=2 时，每个旋转 2 个 30 度

快速傅里叶变换¶

快速傅里叶变换

手搓 DFT 例题¶

数字信号处理13-1_离散傅里叶变换（DFT）

这里具体用的时候是共轭复数，表示顺时针旋转，上面写的没写成 $e^{-j0\Omega n}$ 没加负号，表示的问题，加了是更严谨。

※ 重点：

复平面与指数，与二维坐标：

注意看，上面左图，逆时针旋转是 $e^{j \phi}$ ，指数部分是正的。

这里计算复杂度，太高了，4 个点，进行了 16 次的计算，$n^2$的计算复杂度，所以后面有 FFT

继续看题目，这里进行了归一化：

上面的周期性，需要好好的理解。

这里，有复指数与幅度谱、相位谱的关系。因为分解到频域，还是要进行频谱分析，要有实际意义来的。

再来看：

最终分解出来的频域表示：$sin(\frac{\pi}{2}n)$

验证：原始时间序列 4 个点。

$n=0$ 时，$sin(\frac{\pi}{2}n) = 0$

$n=1$ 时，$sin(\frac{\pi}{2}1) = 1$

$n=2$ 时，$sin(\frac{\pi}{2}2) = 0$

$n=3$ 时，$sin(\frac{\pi}{2}3) = -1$

刚好由频域还原为时域。$[0,1,0,-1]$

不懂，怎么由双边谱转换为单边谱
不懂，太神奇了，为什么就由这个DFT 出来的东西，就还原为了原始时间序列
神奇，属实神奇。$[0,1,0,-1]$ 就对应的三角函数是 $sin(\frac{\pi}{2}n)\quad n=0,1,2,3$

太神奇了。因为把，明明是原始时间序列与 $e^{-j0\Omega n}、e^{-j1\Omega n}、e^{-j2\Omega n}、e^{-j3\Omega n}$ 进行投影运算。

最开始就是把长度为 $N_0$ 的信号看成是周期为 $N_0$ 的信号
物理含义：把序列分解成一系列的单位圆上的复指数序列的线性组合

重新看这个题

矩阵形式进行DFT：$w_{kn}x_n=X_k,其中k,n=(0,1,2,...N-1)$

$ \Omega = \frac{2\pi}{N}=\frac{2\pi}{4} = \frac{\pi}{2}$ (这东西叫啥？基频、基波，还是角频率，总之是$T=N$)

也就是 $\omega_0 = e^{-\frac{\pi}{2}i}$ 更进一步，$\omega_0 = e^{-\frac{\pi}{2}i} = -i$ 物理含义：沿着单位圆反方向旋转 $\frac{\pi}{2}$

复平面||复指数的周期性¶

复指数的周期性：

$e^{ix}$ 周期 $T=2\pi$

复指数的一般形式 $e^{i\Omega t}$ 周期 $T=\frac{2\pi}{\Omega}$

这里的 $n= \pm 1、\pm 2、\pm 3,......$
$e^{i}$ 指数部分 $＞0$ ：表示逆时针旋转，是正方向。
$e^{ix} \& e^{-ix}$ ：实部不变，虚部互为相反数

解释：

$e^{ix} = \cos x + i \sin x$

$e^{-ix} = \cos x - i \sin x$

（solved）还有一个问题不清楚 $T=N、T=\frac{N}{2}、T=\frac{N}{3}、T=\frac{N}{4}$ ？跟 $\omega 、T$ ？

$\omega = 2\pi f = \frac{2 \pi}{T}$

把记号区分一下就好。

$\Omega = \frac{2\pi}{N}$ 所以这个叫基波的角频率，$T=N$ 后面依次，$N/2、N/3、......$

这里变化的是 $k$，想要讨论的是基波、谐波

$\Omega = \frac{2\pi}{N}$ → $T=N$

$2\Omega = \frac{2\pi}{N/2}$ → $T=N/2$

$3\Omega = \frac{2\pi}{N/3}$ → $T=N/3$

$4\Omega = \frac{2\pi}{N/4}$ → $T=N/4$

(1)$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-i\frac{2 \pi k n}{N}}$

(2) $\quad = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-i \Omega kn}$

(3)$X_k = w^{kn}x_n$ ，$kn=0 \sim N-1$

（回答）借助上面的题目，重新规范一下符号表达与一些叫法，感觉理清楚了：

$\omega = 2\pi f = \frac{2 \pi}{T}$

给定一个时间序列长度为N，进行 DFT

在进行 DFT 的时候，三角函数的分解是遵循一定规则的，周期是很规范的选取，具体来说就是 $T=N、T=\frac{N}{2}、T=\frac{N}{3}、T=\frac{N}{4},...$

最后一个是 $\frac{N}{N-1}$? 还有 $\frac{N}{N}$? 还有序列元素加和是什么周期的

记 $\Omega = \frac{2\pi}{N}$

补充：这里变化的是 $k$，想要讨论的是基波、谐波

$\Omega = \frac{2\pi}{N}$ → $T=N$

$2\Omega = \frac{2\pi}{N/2}$ → $T=N/2$

$3\Omega = \frac{2\pi}{N/3}$ → $T=N/3$

$4\Omega = \frac{2\pi}{N/4}$ → $T=N/4$

DFT : $X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-i\frac{2 \pi k n}{N}}$

$\quad = \sum_{n=0}^{N-1} x_n e^{-i \Omega kn}$

正交基：$1，e^{-i \Omega }、e^{-i 2\Omega }、e^{-i 3\Omega }、e^{-i 4\Omega }......$

记为 $\omega = e^{i \Omega } = e^{i\frac{2 \pi k }{N}}$ 也有记成 $\omega_0$ 的，也就是说原始时间序列的长度，是周期最长的，以此为基础进行正弦函数、余弦函数的展开。

矩阵形式的 DFT 简单记法：$X_k = w^{kn}x_n$ ，$kn=0 \sim N-1$

数学 & DFT¶

数字信号处理_引言

符号表示：

采样定理：

这里的采样周期=0.01s，也就是说采样频率=100Hz
对应的采样以后，200Hz 的采不到了，也就是说过滤掉了 200Hz 的噪声信号
这里需要注意，假设要采到 500Hz 的信号，那么采样频率设置成多少？答：2 倍的 500Hz，也就是说需要设置为 1000Hz 的采样频率，也就是0.001s 采样一个点。

太神奇了
利用matlab 自带的 fft 变换，发现 10Hz，40Hz 附近确实响应值比较高
微弱信号是采样过程导致的频谱泄露问题
那我们想要的是 10Hz，后面设计（低通）滤波器，去掉 40Hz 的即可

就是 MATLAB 演示低通滤波器

(续)例题¶

DFT 没有遗漏了归一化过程

$j \Omega k t$

重点需要理解，FFT 分解出来的复数的结果是什么意思

更实际的例子：

利用计算机计算 DFT，得到相位角和幅值

（已解决：采样定理）为什么频率是 25Hz
$\Omega kn$ 这里 $k=5，k=10$ 有响应，$\Omega = \frac{2\pi}{N}$ ，至于图片中的 $2 \pi$ 应该是进行了归一化。否则的话，应该是 $1\Omega n、2 \Omega n、3 \Omega n、4 \Omega n,......$
50Hz的采样率表示什么？1s 采样 50 个样本点，根据采样定理，确实只能最大观察到的频率是 25Hz，别的都被过滤掉了。

采样定理：

这里的采样周期=0.01s，也就是说采样频率=100Hz

对应的采样以后，200Hz 的采不到了，也就是说过滤掉了 200Hz 的噪声信号

这里需要注意，假设要采到 500Hz 的信号，那么采样频率设置成多少？答：2 倍的 500Hz，也就是说需要设置为 1000Hz 的采样频率，也就是0.001s 采样一个点。

DFT 的思想是，如果采集到的数据长度是 $N_0$ 那么就认为数据的周期$=N_0$ ，然后进行 DFT，看里面有多少个分量。

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