直观理解傅里叶变换¶
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时域、频域转换只涉及三个图：时域图、振幅谱、相位谱
傅里叶级数领域，认为，波 最基本的物质单位 是 三角函数；
各种复杂的基本信号都是三角函数的叠加。更基本的，是正弦三角函数的叠加。
正弦波、余弦波都是正弦信号，只是认为相差 \(\frac{\pi}{2}\) 的相位对应的 傅里叶级数也是既可以展开为只含有正弦波的，也可以展开为只含有余弦波的。
先将时域信号通过傅里叶变换转换为频域信号
从前向后观察，得到**时域图**
振幅谱：
从前往后观察，得到振幅谱，上下振幅保留单侧
相位谱：
从上往下观察，去掉相同的部分，得到相位谱，翻转相位谱的目的是为了便于观察
相位： $ A sin(2 \pi f \cdot x + \phi)$ ，其中 \(\phi\) 就是相位谱
总结：
- 从前往后观察是 频域图像，也就是振幅谱 $ A sin(2 \pi f \cdot x + \phi)$ 也就是 \(A\)
- 从左往右观察是时域图像，从左往右观察并相加
- 从上往下看是相位谱 \(\phi_0\) 初相位
- 还有一点需要强调，低频波描述轮廓，代表长期趋势；高频波描述细节。
对应到离散傅里叶变换
其中，\(k= 0,1,2,3...,N-1\) 也是这个范围，同时需要注意的是 一般是固定一个 \(k\)，然后所有时间点 \(x_0,x_1,x_2,x_3,.....,x_{N-1}\) 朝着 固定的 \(k\) 频率进行相关性计算，或者叫投影。
- 其实关于这个 k 与频率 f 的关系，我也不清楚
\(e^{-i\frac{2\pi k n}{N}} = cos\frac{2\pi k n}{N} - isin\frac{2\pi k n}{N}\)
\(\omega_0 = \frac{2\pi}{N} = 2 \pi f\)
所以，具体来说，也许，\(\omega_k = \frac{2\pi k}{N} = 2 \pi f\)
也就是说 \(f=\frac{k}{N}\)
\(\omega_k = \frac{2\pi k}{N}\) 表示 原始 时间序列 与该 频率的相关性？
还有这种转几圈的问题我也不明白。
k=1，表示原始时间序列 \(T=N\) ；\(N\)个时间点构成一个周期
k=2，表示 \(T = \frac{N}{2}\) ？因为 可以看成 \(\frac{2 \pi}{\frac{N}{2}}\)
k=3，表示当前时间序列数据构成 3 个周期
还有，DFT 与振幅谱、相位谱的关系 我也不明白
$ X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_t e^{-i\frac{2\pi k n}{N}} \quad n=0,1,2,3...,N-1$
\(e^{-i\frac{2\pi k n}{N}} = cos\frac{2\pi k n}{N} - isin\frac{2\pi k n}{N}\)
所以 $ X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x_t (cos\frac{2\pi k n}{N} - isin\frac{2\pi k n}{N}) $
$ \quad = \sum_{n=0}^{N-1} x_t cos\frac{2\pi k n}{N} - i x_t sin\frac{2\pi k n}{N}) $
振幅： \(x_t\)
角度：\(\frac{2\pi k n}{N}\)