Fourier级数¶

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傅里叶级数
傅里叶变换
离散傅里叶变换
快速傅里叶变换

三角函数形式¶

🟢 case1：周期= $2 \pi$

周期为 $2\pi$的函数展开式

\[f(t) = \frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n cosnt + b_nsinnt\]

\[\left\{ \begin{aligned} a_0 & =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\mathrm{d}t, \\ a_n & =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\cos\mathrm{n}t\mathrm{d}t, \\ b_n & =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin\mathrm{n}t\mathrm{d}t \end{aligned}\right.\]

🟢 case2：周期=2T

$t=?x = 2\pi \frac{x}{2T} = \pi \frac{x}{T}$

\[f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n cosn\pi\frac{x}{T} + b_nsinn\pi\frac{x}{T}\]

$dt = \frac{\pi}{T}dx$

$t \in (-\pi,\pi) → x \in (-T,T)$

\[\left\{ \begin{aligned} a_0 & =\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(x)\mathrm{d}x, \\ a_n & =\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(x)\cos\mathrm{n}\pi \frac{x}{T}\mathrm{d}x, \\ b_n & =\frac{1}{T}\int_{-T}^{T}f(x)\sin\mathrm{n}\pi \frac{x}{T}\mathrm{d}x \end{aligned}\right.\]

🟢 case3：周期=T

$t=?x = 2\pi \frac{x}{T} =\omega x$ (令 $\omega = \frac{2\pi}{T} $)

$dt = \frac{2\pi}{T}dx$

$t \in (-\pi,\pi) → x \in (-\frac{T}{2},\frac{T}{2})$

$f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n cos n2\pi\frac{x}{T} + b_nsin n2\pi\frac{x}{T}$

更常用的形式：

\[f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n cos n \omega x + b_nsin n \omega x\]

\[\left\{ \begin{aligned} a_0 & =\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\mathrm{d}x, \\ a_n & =\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\cos\mathrm{n}\omega x\mathrm{d}x, \\ b_n & =\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\sin\mathrm{n}\omega x\mathrm{d}x \end{aligned}\right.\]

特别的，$\omega_0=\frac{2\pi}{T}$ 记作基频，周期最长，最低频

指数形式¶

\[ \left\{ \begin{aligned} e^{ix}=cosx+isinx, \\ e^{-ix}=cosx-isinx, \\ \end{aligned}\right. \]

\[ \left\{ \begin{aligned} cosn\omega x = \frac{e^{in\omega x}+e^{-in\omega x}}{2}, \\ i sin n\omega x = \frac{e^{in\omega x}-e^{-in\omega x}}{2}, \\ \end{aligned}\right. \]

$f(x)=\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n cos n \omega x + b_nsin n \omega x$

$\quad =\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+ \infty} a_n \frac{e^{in\omega x}+e^{-in\omega x}}{2} - i b_n\frac{e^{in\omega x}-e^{-in\omega x}}{2}$

$\quad =\frac{a_0}{2} + \sum_{n=1}^{+ \infty} \frac{a_n - i b_n}{2} e^{in\omega x}+ \frac{a_n + i b_n}{2} e^{-in\omega x}$

记系数分别为：

$c_0 = \frac{a_0}{2} = \frac{1}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\mathrm{d}x \quad (n=0)$

$c_n = \frac{a_n - i b_n}{2} = \frac{\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\cos\mathrm{n}\omega x\mathrm{d}x-i\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\sin\mathrm{n}\omega x\mathrm{d}x}{2}$

$ \quad = \frac{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\cos\mathrm{n}\omega x\mathrm{d}x-if(x)\sin\mathrm{n}\omega x\mathrm{d}x}{T}$

$ \quad = \frac{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)(\cos\mathrm{n}\omega x-i\sin\mathrm{n}\omega x)\mathrm{d}x}{T}$

$ \quad = \frac{\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) e^ {- \mathrm{n}\omega x} \mathrm{d}x}{T}$

$ \quad = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) e^{- \mathrm{n}\omega x }\mathrm{d} x \quad (n=1,2,3,4... ...)$

$c_{-n} = \frac{a_n + i b_n}{2} = \frac{\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\cos\mathrm{n}\omega x\mathrm{d}x + i\frac{2}{T}\int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(x)\sin\mathrm{n}\omega x\mathrm{d}x}{2}$

$ \quad = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) e^{\mathrm{n}\omega x }\mathrm{d} x \quad (n=1,2,3,4... ...)$

汇总 $c_0,c_n,c_{-n}$

可得：

$c_n = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) e^{- \mathrm{n}\omega x }\mathrm{d} x \quad (n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4... ...)$

最终得到，傅里叶级数的指数形式：

\[f(x)=\sum_{n= - \infty}^{\infty} c_n e^{i n \omega x }\]

\[c_n = \frac{1}{T} \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} f(x) e^{- \mathrm{n}\omega x }\mathrm{d} x \quad (n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\pm 4... ...)\]

傅里叶级数的指数形式，可以清楚地展示出幅角和模长，这是三角函数形式展示不直观的。

中间的补充：

关于「傅里叶级数的指数形式，可以清楚地展示出幅角和模长」的解释：

这里用的是离散傅里叶变换了。

📢 注意区别：

傅里叶级数是展开周期函数

傅里叶变换是对于非周期函数

复平面与 $e^x$ ，这一步的转换，其实是从 $(cos\theta,sin\theta)$ 直接用了 $e^{i\theta}$ 表示

类似的，复平面坐标点，全部用指数表示

$$ e^{i\theta} = cos\theta + isin\theta $$ 具体来说：

$1 = e^{i2\pi} = cos2\pi + isin2\pi = 1$
$i = e^{i\frac{\pi}{2}} = cos\frac{\pi}{2} + isin\frac{\pi}{2} = i$
$-1 = e^{i\pi} = cos\pi + isin \pi = -1$
$-i = e^{i\frac{3\pi}{2}} = cos\frac{3\pi}{2} + isin\frac{3\pi}{2} = -i$

接下来，对 1 进行分解，具体来说：

$x^2=1$
$x^3=1$
$x^4=1$
$x^5=1$

因为讨论的是三角函数，所以用 $\omega$

这里其实，我觉得应该这么解释

$\omega^2 = 1 ===>$ 转1个 $\omega$ 转一圈 $=1$
$\omega^3 = 1 ===>$ 转3个 $\omega$ 转一圈 $=1 ===>$ 得到对应的角，进行相应的复数表示，比如这里 $\omega=120°$ ，$x$ 轴正方向开始找点，120°标一个，再一个120°，再标一个。（模长=1，角度＝120°）
$\omega^4 = 1 ===>$ 转4个 $\omega$ 转一圈 $=1$
$\omega^5 = 1 ===>$ 转5个 $\omega$ 转一圈 $=1$
$\omega^6 = 1 ===>$ 转6个 $\omega$ 转一圈 $=1$
......
$\omega^n = 1 ===>$ 转n个 $\omega$ 转一圈 $=1$

单位根

$\omega = 120°$ 是角，也是复数表示，也是指数
复数： $\omega = -\frac{1}{2} + i \sqrt{\frac{3}{2}}$
※ 指数：$\omega = e^{i\frac{2\pi k}{N}}$ 这里划分成 3 个，也就是 3 个样本点，所以 $N=3$，这是第一次旋转，所以，$k=1$ 所以指数表示 $\omega = e^{i \frac{2 \pi}{3}}$

基于以上认识，重新看 DFT